Zwei Matrizen A und B werden addiert, indem man die in den Matrizen an entsprechender Stelle stehenden Komponenten addiert:

Genauso werden auch Vektoren addiert.

Die Matritzen mĂĽssen die selben Dimensionen aufweisen.

Eine Matrix oder ein Vektor A wird mit einer Zahl r vervielfacht (multipliziert), indem man jede Komponente von A mit r multipliziert:

Diese Rechenoperation bezeichnet man Skalarmultiplikation, das Ergebnis ist ein skalares Produkt, es ist zu unterscheiden vom Skalarprodukt zweier Vektoren.

Zwei Matrizen A und B werden miteinander multipliziert, indem jeweils die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den entsprechenden Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert werden. Die Multiplikation von Matrizen ist ca. dann möglich, wenn die Länge der Zeilen (= die Anzahl der Spalten) der ersten Matrix mit der Länge der Spalten (= Anzahl der Zeilen) der zweiten Matrix übereinstimmt. Ist A eine l×m-Matrix und B eine m×n-Matrix, so ist das Produkt eine l×n-Matrix. Aber Achtung: Bei Matrizen gilt das Kommutativgesetz NICHT!

Dabei können A und B auch Vektoren sein, solange die Formate passen (siehe dazu auch den Abschnitt Vektor-Vektor-Produkte).

Formal definiert ist die Matrixmultiplikation fĂĽr Matrizen A = (a_ij) und B = (b_ij) der Formate lĂ—m und mĂ—n als die Matrix C = (c_ij) mit den Komponenten

"Kippt" man die Matrix A an der Hauptdiagonalen, vorausgesetzt sie ist quadratisch, dann erhält man die zu A transponierte Matrix A^T. Die Transponierte der Matrix A = (a_m,n) vom Format m×n ist die Matrix A^T = (a_n,m) vom Format n×m.
Allgemein:

Beispiel:

Ist (R,+,*,0) ein Ring, dann bildet die Menge R^nĂ—n der quadratischen Matrizen vom Format nĂ—n ebenfalls einen Ring mit der oben definierten Matrixaddition und -multiplikation. Das Nullelement ist die Nullmatrix 0, deren Komponenten alle 0 sind. Hat R ein Einselement 1, dann ist die Einheitsmatrix E das Einselement des Matrixrings. Sie hat auf der Hauptdiagonalen 1 und sonst 0.

Ist K ein Körper, dann sind in dem Ring K^n×n exakt diejenigen Matrizen invertierbar (regulär), deren Determinante ungleich 0 ist. Man kann die zur Matrix A inverse Matrix A^-1 zu dem Beispiel mit dem Gauss-Algorithmus bestimmen. Dazu löst man das lineare Gleichungssystem A*X = E. Die Matrix E ist die Einheitsmatrix, die Matrix X ist dann das Inverse von A.

Es entsteht ein Lineares Gleichungssystem mit 9 Unbekannten und 9 Gleichungen:

Bei näherer Betrachtung stellt man aber sehr schnell fest, dass man dieses Gleichungssystem stets auch als drei getrennte Gleichungssysteme mit je drei Gleichungen und Unbekannte zerlegen kann:

Es muss also dreimal dasselbe Gleichungssystem mit unterschiedlichen rechten Seiten (nämlich den drei Einheitsvektoren) gelöst werden. Dies gilt analog bei Matrizen höherer Dimension. Effizient geht dies über elementare Zeilenumformungen, also über das Gaußsche Eliminationsverfahren. Das Ergebnis sollte lauten:

Wir schreiben rechts neben die zu invertierende Matrix die Einheitsmatrix, z.B.

Jetzt formen wir die Matrix so lange mit Elementaren Zeilenumformungen um, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Das ist nicht besonders kompliziert, in dem oben angegebenen Beispiel geht das z.B. folgendermaĂźen:

Im ersten Schritt ziehen wir dazu die erste Zeile 4 mal von der zweiten ab, und 7 mal von der dritten:

Jetzt ziehen wir die zweite Zeile 2 mal von der dritten ab, und erhalten so links eine obere Dreiecksmatrix:

Nun normieren wir die Zeilen um auf der Diagonalen 1er zu erhalten, indem wir die zweite mit -1/3 Multiplizieren, die dritte mit -1/2

Von der ersten Zeile ziehen wir 2 mal die zweite ab und addieren die dritte 1 mal, anschlieĂźend ziehen wir die dritte Zeile 2 mal von der zweiten ab:

Auf der rechten Seite steht jetzt die Inverse der ursprĂĽnglichen Matrix.

Welche elementaren Zeilenumformungen man benutzt ist hierbei egal, es empfielt sich jedoch ein Absichtgerichtetes Arbeiten, wie eben gezeigt (Spalte für Spalte auf obere Dreiecksmatrix bringen, anschließend die Diagonale auf 1en normieren. Anschließend ist es meistens am einfachsten, wenn man (anders als eben gezeigt) von unten anfangend die Einheitsmatrix herstellt. (Im eben gezeigten Beispiel hätte man dazu statt dem letzten Schritt erst die letzte Zeile 2 mal von der vorletzten abgezogen, anschließend die letzte 3 mal und die mittlere Zeile 2 mal von der ersten)

Online-Tool zu dem ĂśberprĂĽfen von Ergebnissen: Berechnung der Inversen (http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/inversematrix.htm)

Hat man zwei Spaltenvektoren v und w der Länge n, dann ist das Matrixprodukt v*w nicht definiert, aber die beiden Produkte v^T*w und v*w^T existieren.

Das erste Produkt ist eine 1Ă—1-Matrix, die als Zahl interpretiert wird, sie wird das kanonische Skalarprodukt von v und w genannt und mit <v,w> genannt.

Das zweite Produkt ist eine nĂ—n-Matrix und heiĂźt das dyadische Produkt von v und w.

Speziell in den Multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. in dem Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden in dem Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt. Es wird von der Gleichung

X = Y

ausgegangen mit X,Y als nĂ—m-Matrix.

Die Gleichung kann von links und rechts mit einer nĂ—m-Matrix A additiv erweitert werden zu

X + A = Y + A

bzw.

- A + X = Y - A .====Multiplizieren mit einer Matrix====

Die Gleichung kann multiplikativ von links durch die rĂ—n-Matrix A oder von rechts durch die mĂ—s-Matrix B erweitert werden:

AX = AY

bzw.

XB = YB===="Division" durch eine Matrix A====

Die Gleichung wird mit der Inversen der Matrix A multipliziert, wobei A invertierbar sein muss. Zu beachten ist hier wieder, dass zwischen der links- und rechtsseitigen Multiplikation zu unterscheiden ist.

Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor x eines linearen Gleichungssystems

Ax = b

mit A als nĂ—m-Koeffizientenmatrix. Man erweitert von links

und erhält die Lösung

.

Eine etwas aufwendigere Umformung erfordert ein

Orthogonalitätsbeweis in dem Multiplen Regressionsmodell

Im Multiplen Regressionsmodell geht man davon aus, dass eine abhängige Variable y durch p vorgegebene Variablen x_j (j=1,...,p) erklärt werden kann. Man schätzt mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionskoeffizienten als

b = (X^TX) ^{- 1}X^Ty

und erhält mit der Schätzung das Gleichungssystem

y = Xb + d

mit y als (nĂ—1)-Vektor der n y-Werte, d als (nĂ—1)-Vektor der Residuen, b als ((p+1)Ă—1)-Vektor der Regressionskoeffizienten und der (nĂ— (p+1))-Datenmatrix X.

Es soll gezeigt werden, dass d^TXb = 0 ist: Es ist zunächst

d^TXb = (y - Xb)^TXb = (y^TXb - b^TX^TXb)

Wegen

Xb = X(X^TX) ^{- 1}X^Ty

mit

M: = X(X^TX) ^{- 1}X^T

als idempotenter Matrix, d.h.

.

erhält man

d^TXb = y^TMy - y^TMMy

was wegen MM=M das Skalar 0 ergibt.

Die Regressionshyperebene Xb steht auf d senkrecht, was man dahingehend interpretieren kann, dass in den Residuen keine verwertbare Information von X bzw. Xb mehr enthalten ist.

Man kann auch Matrizen mit unendlich vielen Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man stets noch addieren. Um sie jedoch multiplizieren zu können, muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten stellen (da die auftretenden Summen unendliche Reihen sind und nicht konvergieren müssten).

Lässt man mehr als zwei Indizes zu, erhält man Strukturen, die man sich als drei- oder höherdimensionale Tabellen denken kann. Diese Strukturen sind spezielle Tensoren.